Вы сейчас просматриваете Компьютерное графическое профилирование дискового инструмента для обработки винтовых поверхностей

Компьютерное графическое профилирование дискового инструмента для обработки винтовых поверхностей

Содержание

В теории профилирования режущих инструментов известен метод нормалей, основанный на построении контактных нормалей к взаимоогибаемым поверхностям из точек на поверхности [1, 2].

Анализ существующих специализаций этого метода для решения рассматриваемой задачи профилирования позволяет сделать вывод о том, что им присущи значительные сложность и громоздкость графических построений в определении отдельной точки касания взаимоогибаемых поверхностей.

В работе предлагается подход к решению задачи профилирования, основанный на построении нормали к поверхности из внешней точки. Некоторые преимущества компьютерной графической реализации этого подхода будут показаны по ходу изложения материала работы.

Теоретические аспекты построения нормали к винтовой поверхности из внешней точки

Контактные нормали к взаимоогибаемым поверхностям отличаются от обычных нормалей тем, что они являются общими для обеих поверхностей в точках касания:

  • В геометрической интерпретации представляют собой прямые общего линейного комплекса (нуль-система) [3].
  • В кинематической интерпретации — лучи мгновенного кинематического винта, определяющего мгновенное относительное движение тел с взаимоогибаемыми поверхностями [4].

Рассмотрим в качестве одной из взаимоогибаемых поверхностей цилиндрическую винтовую поверхность (ВП). Пусть ВП задана своим чертежом (рисунок 1).

где

  • j — винтовая ось (ось ВП), занимающая проецирующее положение относительно горизонтальной плоскости проекций.
  • fδ и fδ1 — торцовые профили ВП в горизонтальных плоскостях уровня δ и δ1 соответственно.
  • Пусть также h=Н/(2π) — винтовой параметр ВП.
  • Н — шаг ВП.
  • Направление хода ВП определено чертежом.
Рисунок 1 – Поле нормалей торцового профиля
Рисунок 1 – Поле нормалей торцового профиля

Под торцовым профилем будем понимать линию сечения ВП плоскостью, перпендикулярной ее винтовой оси.

Нормали к торцовому профилю fδ образует поле нормалей в плоскости δ, которое в рассматриваем подходе к профилированию ограничивается окружностью радиуса Ri.

Из теории винтовых поверхностей известно, что положение нормали к ВП относительно винтовой оси j определяется соотношением [5]:

r..tgϕ=h

где

  • r и ϕ соответственно кратчайшее расстояние и угол.

Учитывая особенность проекционного расположения ВП относительно плоскости проекции П1 (смотри рисунок 1), выражающуюся в том, что j ꓕ П1 можно на основании приведенного соотношения утверждать, что нормаль к торцовому профилю в его точке есть с точностью до направления ортогональная проекция нормали к ВП в этой точке.

В этой связи знак угла ϕ зависит от направления хода ВП и от направления вектор-момента, образуемого проекцией вектора нормали к ВП на торцовую плоскость при ее вращении относительно центра j в плоскости П1.

Применим некоторые понятия и теоретические положения теории винтов [4] в рассматриваемом подходе. Пусть nδ10 и nδ1 — два разных положения одной и той же нормали к торцовому профилю в его положениях fδ10 и fδ1 (рисунок 2).

Рисунок 2 – Проецирующее положение полярной плоскости
Рисунок 2 – Проецирующее положение полярной плоскости

Очевидно, основания Nδ10 и Nδ1 этой нормали принадлежат разным плоскостям уровня δ0 и δ торцового профиля в его положениях fδ10 и fδ1.

Повернем нормаль к торцовому профилю вокруг центра j1 в положение n10 при котором она будет проходить через точку аi10 = M10. Этому повороту на угол αδ будет соответствовать положение N0 основания нормали в соответствующей плоскости уровня δN0.

Поскольку нормаль к ВП является лучом винта [4], то приняв точку М0 нормали в качестве полюса определенной полярной плоскости G0, получим, в соответствии с определением этой плоскости, что через точку M0ϵG0 проходит пучок лучей винта, один из которых совпадает с нормалью n0 к ВП в точке M0ϵn0.

Положение полярной плоскости G0 относительно винтовой оси j определяется соотношением:

Rj..tgϕi=h

где

  • Ri — расстояние от полюса М0 до оси j.
  • ϕ — угол между полярной плоскостью G0 и осью j.

Исходя из проекционной особенности расположения полюса М0 и оси j (смотри рисунок 2), получаем:

  • Что G20 есть фронтальный след полярной плоскости G0, расположенной под углом ϕi к оси j, проходящей через основание N0 нормали.
  • Поэтому точка M20 = G20 ᴖ j2 есть фронтальная проекция полюса М0 полярной плоскости и, следовательно, n20 и n10 есть проекции нормали n0 к ВП, проходящей через внешнюю точку М010, М20).

Нормали к ВП, которые пересекают прямую ai0(ai10,ai20), проходящую через полюс М0 параллельно винтовой оси j поэтому:

  • Эти нормали параллельны полярной плоскости G0 с полюсом М0.
  • Действительно, полярные плоскости с полюсами — точками прямой ai0 определяются одним и тем же соотношением Ri..tgϕi=h .

Следовательно, они образуют пучок параллельных плоскостей, и каждой из них в общем случае принадлежит конечное число нормалей ВП, проходящих через полюс — точку пересечения полярной плоскости и прямой ai0.

Как следует из вышеизложенного, для построения нормали к ВП на основе использования минимального количества изображений ВП, то есть на П1 и П2, необходимо:

  • Чтобы полярная плоскость, содержащая искомую нормаль, была проецирующей относительно П2.
  • Принимая любую точку пространства, через которую должна проходить нормаль к ВП, в качестве полюса полярной плоскости винта (j,h).
  • Полагая, что через эту точку проходит конечное число нормалей к ВП, мы должны выполнить некоторое геометрическое преобразование, направленное на изменение положения полюса и ВП с целью получения проецирующего положения полярной плоскости.

Очевидно, этим преобразованием является вращение относительно винтовой оси j.

На рисунке 3 показаны поворотные положения полюсов “М”, образующих одно и тоже расстояние Ri с винтовой осью j:

  • Mii1, Mi2).
  • М010, М20).
  • Мδiδ1iδ2i).
Рисунок 3 – Поворотные положения нормали
Рисунок 3 – Поворотные положения нормали

Прямая кратчайшего расстояния между полюсом М0 и осью j занимает проецирующее относительно П2 положение, поэтому:

  • Полярная плоскость G0(G20) этого полюса является также проецирующей и образует угол ϕi=arctg(h/Ri) с осью j.
  • Прямая кратчайшего расстояния между полюсом Мi и осью j не занимает проецирующего положения.

Пусть ni1 — проекция проходящей через точку Мi нормали к ВП.

Выполним поворот полюса Mi и ВП, находящихся в жесткой связи друг с другом, вокруг оси j на угол α до проецирующего положения полярной плоскости, следовательно:

  • В таком случае на плоскости проекций П1 получаем соответствующее изображение положения ni10 проекции нормали к ВП из точки Mi.
  • Проекции Ni20 и Ni2 на П2 оснований нормали в ее положениях ni0 и ni принадлежат одной плоскости уровня δi0i20).
  • Проекция Ni20 основания нормали ni0 определяет след Gi20 проецирующей полярной плоскости Gi0 с полюсом Mi0(Mi10, Mi20)
  • Очевидно, Mi20,= Gi20.ᴖj2 Из вышеизложенного следует параллельность следов Gi20||G20.

В соответствии с выполненным преобразованием проекции Mi20 и Mi2 положений полюса Мi будут принадлежать одной горизонтальной прямой, а сами положения Mi0 и Мi полюса Mi — одной горизонтальной плоскости уровня.

Если повернуть на угол αδ полюс Мδ1, через который проходит нормаль nδi(nδ1i, nδ1i) к ВП, в жесткой связи с ВП, до проецирующего относительно П2 положения Gδi0(Gδ2i0) его полярной плоскости Gδi, то получим на П1:

  • Проекцию nδ1i0 положения nδi0 преобразуемой нормали nδi,
  • Проекцию Nδ1i0, положения Nδi0 преобразуемого основания Nδi этой нормали на ВП.
  • Проекцию Mδ1i0 положения Mδi0 преобразуемого полюса Mδi, через который проходит нормаль nδi.

При таком преобразовании ВП поворачивается относительно своей оси j на угол αδ:

  • Полюс Mδi перемещается в свое положение Mδi0(Mδ1i0, Mδ2i0) в горизонтальной плоскости уровня.
  • При этом соответствующие проекции Mδ2i и Mδ2i0 принадлежит горизонтальной прямой.
  • Основание Nδi нормали к ВП и его полярное положение Nδi0 принадлежит горизонтальной плоскости уровня δ(δ2).

Геометрическая модель профилирования дискового инструмента

Основываясь на вышеизложенных теоретических положениях, рассмотрим геометрическую модель компьютерного графического профилирования на конкретном примере профилирования. В качестве исходных примем следующие данные.

ВП (j, R, h, fδ1, HX) задана чертежом (рисунок 4).

Рисунок 4 – Определение точки Кi характеристики
Рисунок 4 – Определение точки Кi характеристики

где

  • j — винтовая ось.
  • R — радиус ограничивающей цилиндрической поверхности вращения.
  • h — единичный шаг (винтовой параметр).
  • fδ1 — торцовый профиль и его плоскость δ1.
  • НХ- направление хода ВП.

В качестве торцового используем профиль винтовой стружечной канавки концевой фрезы, состоящей из трех участков (отрезок прямой линии и дуги двух окружностей), состыкованных по первому порядку гладкости [2].

Параметры установки профилируемого дискового инструмента (ДИ):

  • u — ось ДИ, положение которой относительно оси j определяется кратчайшим расстоянием а и углом скрещивания β.
  • Относительно ВП — положением точки скрещивания S, принадлежащей плоскости δ торцового профиля fδ.

Чертеж на рисунке 4 выполнен средствами плоской графики КОМПАС VII и соответствует следующим численным значениям исходных данных:

  • β = 63°,
  • а =51.23мм,
  • α=60° (смотри рисунок 1),
  • h=43.328мм;
  • R=25мм.
  • НХ — определяется графическими построениями.

Рассмотрим при этих данных построение на ВП ортогональной проекции произвольной точки Piϵu на основе средств плоской графики КОМПАС VII:

  • На горизонтальной плоскости проекции П1 угловое положение горизонтальной проекции Piϵu относительно проецирующего направления на фронтальную плоскость проекции П2 определяется углом αi.
  • αi =21o20,.
  • Построим поле нормалей {п} к профилю fδ (смотри рисунок 1), ограниченное профилем fδ и окружностью радиуса Rt=IjPtI.
  • Ri=55мм.
  • Повернем на П1 точку Piϵu ей в жесткой связи с телом, к которому прикреплена ВП, в положение Рi0, при котором полярная плоскость Gi полюса Pi станет проецирующей (Gi0) относительно П2, при этом ϕ=arctg(h/Ri).
  • ϕi=38o14’.
  • В связи с этим поворотом поле нормалей {n} вместе с профилем fδ повернется в плоскости δ относительно винтовой оси j на угол αi0=a+αi и займет новое положение, определяемое новым положением fδ0 профиля fδ.
  • Для профиля fδ0 и индуцируемого им поля нормалей построим линию ЛЗ1 которая известна в теории плоских зубчатых зацеплений, как линия зацепления [6].

Как известно, ЛЗ1 представляет собой геометрическое место оснований нормалей к торцовому профилю, полученных в результате поворота каждой нормали относительно центра j окружности Ri в положение прохождения этой нормали через полюс зацепления Pi0,

На рисунке показано построение конечной точки M10 на ЛЗ1:

  • Основания нормали nM в ее положении nM0, проходящем через полюс Рi0 при повороте нормали nM на угол αM вокруг центра j из ее положения относительно профиля fδ0.
  • Очевидно, основание MϵnM в результате поворота преобразуется в точку M10ϵnM0.
  • Линии ЛЗ1 соответствует по построению линия Л32 на плоскости проекции П2.
  • Каждой точке на Л31 соответствует определенная точка на Л32, которая определяется в проекционной связи удалением d от плоскости δ.
  • Поэтому каждая точка на ЛЗ1 после выведения ее по перпендикуляру к плоскости δ=П1 из этой плоскости на расстояние, пропорциональное углу со знаком «+» или «-» поворота в плоскости δ=П1, становится точкой на Л32.

Положение точки M20ϵЛ32, соответственной точке M10ϵЛ31, определяется расстоянием:

dM=h*αM

где

  • Угол αM взят со знаком +, поскольку поворот, в результате которого получаем М→M10, соответствует заданному НХ исходной ВП.

Следовательно ЛЗ с проекциями ЛЗ1 и Л32 представляет собой ортогональную проекцию прямой линии mi0(mi0||j, mi0эPi0) на заданной ВП, полученную проецированием нормалями к ВП на саму ВП.

Таким образом, на чертеже (смотри рисунок 4) выполнено построение ЛЗ (ЛЗ1 Л32), соответствующей выбранной точке Piϵu в ее положении Рi0 = mi0.

Ранее было отмечено, что параметры положения взаимно соответственных полюса Рi0 и полярной плоскости Gi0 удовлетворяют соотношению:

Ki.tgϕi=h.

Исходя из вышеизложенного можно утверждать:

  • Что точка пересечения Кi0=Gi0ᴖЛЗ представляет собой основание нормали к ВП, проведенной из точки Рi0.
  • Обратным поворотом в плоскости П1=δ на угол αi относительно центра j получаем искомую точку Кi — основание нормали ni к ВП, проходящей через исходную точку Рiϵu.
  • Рассматривая прямую и как множество {Рi} точек Рi и выполняя по рассмотренному выше алгоритму построения основания Кi нормали ni к ВП, проходящей через каждую Рi, получим множество точек {Кi}, образующих характеристику — линию касания взаимоогибаемых поверхностей, одной из которых является ВП.
  • Последующее рассмотрение других точек Рiϵu в решении поставленной задачи профилирования при тех численных значениях исходных данных позволило обнаружить существование нескольких нормалей к ВП, проходящих через одну и ту же точку Kiϵu.

Эта отличительная особенность предлагаемой геометрической модели профилирования может быть использована для качественного анализа результата профилирования, например, при исследовании подрезания.

Другой положительной особенностью модели является возможность значительного сокращения количества операций построения:

  • Поскольку ЛЗPi построенная для точки Рiϵu, и ЛЗPi/.
  • Так же ЛЗPi построенная для точки Рiϵu/, симметричной Рi относительно точки скрещивания Sϵ
  • Данные точки неотличимы по геометрической форме и разнятся лишь положением относительно плоскости δ=П1.

В случае аналитического описания предлагаемой геометрической модели профилирования задача определения граничных точек искомой характеристики вполне решаема.

При конструктивном (графическом) компьютерном профилировании конечные точки характеристики могут быть определены на основе одного из известных итерационных способов [2].

На рисунке 5 представлены компьютерные построения, связанные с определением таких точек КH (рисунок 5а) и КK (рисунок 56), выполненные указанным способом:

Рисунок 5 – Определение граничных точек характеристики
Рисунок 5 – Определение граничных точек характеристики

Смысл этого способа заключается в том, что нормали n к ВП в точке ее торцового профиля fδ придают винтовые перемещения, которые могут быть противоположных направлений, вдоль винтовой линии, проходящей через основание нормали на профиле fδ, до тех пор, пока эта нормаль не пересечет ось и инструмента с заданной точностью.

Из компьютерных построений на рисунке 5, а следует:

  • Что нормаль n-1 к ВП в крайней точке 1=КK торцового профиля после одного винтового приращения в направлении хода ВП прошла на расстоянии 0.52 мм от оси и инструмента.
  • Из схемы построений на рисунке 5,б следует, сто нормаль n12 к ВП в другой конечной точке 12=КН торцового профиля fδ прошла сразу, без винтовых приращений, на расстоянии 0.55 мм от оси u.

В результате компьютерного выполнения множества однотипных построений, таких как для вышерассмотренной точки Piϵu, получаем пространственный дискретный ряд точек {Кi}, искомой характеристики.

В поставленной задаче профилирования с определенными значениями исходных данных получено 16 точек характеристики (рисунок 6):

Рисунок 6 – Определение осевого профиля инструмента
Рисунок 6 – Определение осевого профиля инструмента

Точки К8 и К9, были выведены из дискретного ряда {Кi}, как несоответствующие характеру последовательного формообразования этого ряда.

Это несоответствие является следствием недостаточной точности компьютерного графического определения указанных точек, как точек пересечения полярных плоскостей G80 и G90 с соответствующими линиями Л38 и Л39.

Недостаточная точность обусловлена ограниченными возможностями интерполяции дискретного ряда точек средствами плоской компьютерной графики при получении геометрической формы проекции Л31 и ЛЗ2 на плоскостях П1 и П2.

После анализа полученного пространственного дискретного ряда точек искомой характеристики и его корректировки с целью уточнения положений отдельных его точек путем более точного определения их положения:

  • За счет построения дополнительных точек — узлов интерполяции этого ряда, расположенных вблизи уточняемой точки.
  • После этих действий выполняется переход к построению осевого профиля f0 профилируемого ДИ.

Для удобства последующих построений сместим массив фронтальных проекций точек дискретного ряда характеристики вдоль оси u на свободное поле построений (смотри рисунок 6).

В системе плоскостей проекций X124) ось и профилируемого ДИ займет проецирующее положение u±П4, то есть ее проекция на П4 будет точкой u4.

Используя «старые» проекции — массив горизонтальных проекций точек дискретного ряда характеристики, строим проекции точек этого ряда на П4.

К примеру если:

H1, КН2)→КН4→КН4/→КН2/.

где

  • КН4/ принадлежит осевой плоскости μ0 профилируемого ДИ.

Выполняя подобные построения для остальных точек дискретного ряда характеристики, получим в итоге осевой профиль f0 искомого ДИ.

Сравнение полученного профиля f0 с соответствующим профилем ДИ, спрофилированного известным итерационным способом [2] при тех же данных задачи профилирования, показало высокую точность совпадения профилей.

Список литературы

  1. Справочник конструктора-инструменталыцика /В.И. Бараников, [и др]. — М.: Машиностроение, 1994. – 560 с.
  2. Щеголъков Н.Н. Итерационный способ компьютерного профилирования дисковых инструментов для винтовых поверхностей: учеб, пособие. — М.: Московский станкостроительный институт, 1991. – 32 с.
  3. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. — М: Наука, 1978 -328 с.
  4. Панчук К.Л. Кинематический метод профилирования дисковых инструментов // Известия вузов. Машиностроение. — 1979. — №11. — С. 125 — 129.
  5. Люкшин В.С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. — М.: Машиностроение, 1968. – 371 с.
  6. Литвин ФЛ. Теория зубчатых зацеплений. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука, 1968. – 584 с.

Источник: Компьютерное графическое профилирование дискового инструмента для обработки винтовых поверхностей / К.Л. Панчук, В.Ю. Полшков, И.В. Бутко // Вестник КузГТУ. — 2011. — №3. — C. 69-74.

Статья в формате docx

Добавить комментарий

Gekoms LLC

Коллектив экспертов, большая часть опыта и знаний которых востребованы в области промышленной автоматизации, разработке технически сложного оборудования, программировании АСУТП, управлении электроприводом. Телефон: +7(812) 317-00-87 Email: info@gekoms.ru Сайт: https://gekoms.org