Содержание
В сетях электроснабжения с электродвигательной нагрузкой имеют место переходные процессы, которые могут изменять питающее напряжение электродвигателей.
При этом возможно возникновение неблагоприятных условий работы коммутационной аппаратуры, что может привести к ее отключению и что, в свою очередь, может привести к распаду всего технологического процесса.
В этой связи необходим анализ условий работы коммутационной аппаратуры, а также тех последствий, которые возникают при внезапном прекращении электроснабжения одного из потребителей в сети с электродвигательной нагрузкой.
Вывод уравнений для математической модели электродвигателя
В рамках работы рассмотрим следующую модель, которая состоит:
- Кабель.
- Асинхронный электродвигатель.
- Устройством коммутации — пускателем.
Моделирование производится в статорной цепи.
На рисунке 1 отображена схема рассматриваемой модели:
Коммутирующее устройство и асинхронный двигатель получают питание через протяжённый кабельный участок.
Коммутирующее устройство имеет произвольное расположение на кабельном участке и своими главными контактами делит его на 2 части с сопротивлениями Rk1, Lk1, u и Rk2, Lk2,
В публикации [1] описана математическая модель одиночного асинхронного электродвигателя с кабелем в статорной цепи.
Следовательно, модель имеет следующий вид:
где
- p — число пар полюсов.
- L’s — переходная индуктивность.
- Rr — активное сопротивление ротора.
- ω — угловая частота вращения ротора.
- Rs — активное сопротивление статора.
- Rk — активное сопротивление участка кабеля.
- Lk — индуктивное сопротивление участка кабеля.
- ψsα, ψsβ, ψrα, ψrβ — потокосцепления статора (индекс s) и ротора (индекс r) по осям α и β.
- ίsα, ίsβ — мгновенные значения токов статора (индекс s) и ротора (индекс r) по осям α и β.
- Uα, Uβ — мгновенные значения напряжений вторичной обмотки трансформатора по неподвижным осям α и β.
Знак D перед переменными в уравнениях обозначает первую производную по времени этой переменной.
На рисунке 1 показаны точки расположения пускателя:
- После вторичной обмотки трансформатора и участком кабельной сети, точка А.
- Непосредственно на участке кабельной сети, точка В.
- Рядом с асинхронным двигателем, после участка кабельной сети точка С.
Для того, чтобы включить в (1) модель коммутационного устройства, необходимо определиться со следующими условиями и ограничениями:
- Расположение коммутационного устройства на кабельном участке может быть произвольным.
- Напряжение на зажимах коммутационного аппарата является функцией напряжения на зажимах асинхронного двигателя.
- Влиянием тока управления коммутационного устройства можно пренебречь, так как пусковой и рабочий ток коммутационного аппарата на 3-4 порядка меньше соответственно пускового и рабочего тока асинхронной машины.
- Асинхронный двигатель и коммутационный аппарат получают питание через один кабельный участок, следовательно, начиная с момента включения и заканчивая моментом отключения коммутационного аппарата, они электрически связаны и влияют на работу друг друга.
Рассмотрим условия Кирхгофа (рисунок 1) для напряжений контура:
- Кабельный участок.
- Коммутирующее устройство.
- Вторичная обмотка трансформатора.
- Статорная обмотка электродвигателя [1].
Поэтому получаем следующую систему уравнений:
где
- Ukα, Ukβ, Usα, Usβ — соответственно падение напряжения в кабельном участке (индекс k) и падение напряжения в статоре АД (индекс s) по неподвижным осям α и β.
Падение напряжение на всём кабельном участке складывается из падений напряжения на первом и втором кабеле:
- Uk=Uk1+Uk2.
- Ukyα, Ukyβ — падение напряжения на сопротивлении межконтактного промежутка коммутирующего устройства по неподвижным осям α и β.
Динамические процессы в кабельной сети описываются [1]:
где
- Rk, Lk — активное и индуктивное сопротивление общего участка кабеля.
Напряжение, прикладываемое к обмотке контактора коммутирующего устройства, выражается формулой:
Разность берётся по абсолютной величине так как модели последних пускателей работают на выпрямленном напряжении.
Коммутационное устройство также влияет на работу асинхронной машины.
Рассмотрим случай, когда при снижении напряжения на зажимах обмотки электромагнита коммутирующего аппарата:
- По абсолютной величине, ниже Umin происходит отключение коммутирующего аппарата.
- Как следствие отключение подачи напряжения на статор асинхронной машины.
- В свою очередь наоборот, при превышении Umin — включение электромеханической системы.
Будем различать процессы включения и отключения коммутационного устройства, а именно:
- При включении аппарата подвижные и неподвижные контакты соударяются, в результате упругой деформации контакты размыкаются, но под действием контактной пружины замыкаются вновь, процесс носит затухающий характер. Данное явление называется вибрацией контактов (дребезг контактов). При отключении аппарата возникает электрическая дуга в межконтактном промежутке.
- В момент включения аппарата в силовой цепи происходит резкое уменьшение сопротивления коммутирующего органа Zk и быстрый рост тока нагрузки.
- При отключении аппарата, в межконтактном промежутке возникает электрическая дуга, которая имеет нелинейное электрическое сопротивление, зависящее в основном от величины протекающего в ней тока.
- Дуговые процессы в электрических аппаратах до сих пор не имеют строгого математического описания [4] поэтому необходимо ввести функцию, имитирующую сопротивление электрической дуги при отключении коммутирующего устройства и определяющую сопротивление межконтактного промежутка коммутирующего органа Zk.
В общем случае данная функция имеет сложный нелинейный характер, который зависит от сопротивления электрической дуги во время коммутации, а также восстанавливающейся электрической прочности межконтактного промежутка и восстанавливающегося напряжения.
Косвенный учёт этих трёх факторов будем производить с помощью функции, которая не имеет разрыва в момент коммутации:
где
- t — время независимая переменная.
- 0,005 — промежуток времени, за который происходит коммутация.
- tk— момент времени, в который начинает происходить переключение аппарата.
- 107 — это коэффициент в уравнении определяет скорость изменения функции от одного состояния до другого (угол наклона).
Общий вид функции представлен на рисунке 2:
Учитывая, что комплексное сопротивление межконтактного промежутка содержит активную и индуктивную составляющую:
Следовательно, функцию, описывающую процесс коммутации, можно представить двумя системами уравнений:
где
- xmin — минимальное расстояние, при котором главные контакты контактора остаются замкнутыми.
- xkt — расстояние между якорем контактора и сердечником магнитной системы (отсчитывается от положения якоря при минимальном зазоре).
Падение напряжения на сопротивлении межконтактного промежутка можно представить в виде:
Сопротивление межконтактного промежутка обычно считается чисто активным, а его индуктивность — близкой к нулю [2], следовательно выполним следующие действия:
- Дополним существующую модель (1) асинхронного двигателя с кабелем в статорной цепи, моделью коммутирующего устройства.
- Для этого подставим уравнение (2) и (8) в уравнение модели одиночного асинхронного двигателя.
После преобразований, аналогичных [1], получим:
Уравнение (9) представляет собой модель одиночного асинхронного двигателя с кабелем в статорной цепи и произвольным расположением коммутирующего органа на кабельном участке.
Рассмотрим динамические процессы, происходящие в электромагните при его включении.
В общем случае уравнение баланса напряжений на обмотке электромагнита при его включении на напряжение Ukt имеет вид [2]:
где
- ίkt — ток, протекающий по обмотке контактора КУ.
- Rkt — активное сопротивление обмотки контактора.
- Ψkt — суммарное потокосцепление обмотки электромагнита контактора.
Представим потокосцепление как ψkt=ίkt*Ld, где Ld — динамическое значение индуктивности электромагнита, и подставим в (10), тогда:
Индуктивность электромагнита является величиной, зависящей от геометрических размеров магнитопровода или же его магнитного сопротивления.
При включении контактора, то есть замыкании магнитной системы, силовые линии магнитной индукции сгущаются, тем самым увеличивается потокосцепление обмотки электромагнита с магнитной системой, как следствие индуктивность увеличивается, а при отпадании якоря (отключении) происходит обратный процесс.
Именно поэтому в динамических процессах коммутационных устройств вводится понятие динамической индуктивности электромагнита Ld.
Подставив (3) в (4) по оси α получим:
Преобразовав которое, будем иметь вид:
Это уравнение описывает влияние переходных процессов в асинхронной машине с кабельным участком на динамические процессы в электромагните.
Модель не учитывает изменение положения якоря xkt в зависимости от подводимого к обмотке контактора напряжения Ukt.
Рассмотрим дифференциальные уравнения электромагнита [3]:
где
- М- масса якоря.
- v — скорость движения якоря.
- Рem— электромагнитная сила.
- Pmh — сила механизма, противодействующая электромагнитной.
- Рm— сила веса якоря, в зависимости от рассматриваемой конструкции контактора может действовать в ту же сторону, что и электромагнитная сила, или в противоположную ей сторону.
Ток контактора ikt и электромагнитная сила Рem есть функции, зависящие от текущего положения якоря xkt, и текущего потокосцепления ψkt.
В приложении 12 [3] рассматривается программа расчёта «DC» статических характеристик электромагнита методом участков, а именно:
- Программа написана на языке программирования QuickBasic.
- Существующая в «DC» подпрограмма расчёта координат точек кривой зависимости потокосцепления от тока «F1.F», определяет набор статических характеристик, которые выводятся в файлы данных.
- Далее эти данные импортируются в оболочку MathCad, где и производится двумерная сплайн-интерполяции статических характеристик электромагнита.
- В результате последней определяются функции зависимости тока контактора ikt и электромагнитной силы Рem, от текущего положения якорях хkt, и текущего потокосцепления ψkt.
Недостатком данного метода расчёта, является погрешность, которая возникает при сплайн- интерполяции характеристик.
И как пишет сам автор: «кривые имеют подозрительно вычурный характер, что подтверждает желательность увеличения числа точек статических характеристик и увеличения значения максимальной МДС, для которой производится расчёт потокосцеплений…».
Избавиться от этого недостатка можно путём нахождения заданного значения ikt и Рem как функции хk от и ψkt в одном программном блоке, и не использовать средства MathCad. Для этого необходимо расширить подпрограмму расчёта координат точек кривой зависимости потокосцепления от тока «F1.F» приложения 12 [3], ещё одним общим циклом подекадного снижения МДС и нахождения заданного потокосцепления при заданном магнитном зазоре.
Общий вид функции тока обмотки ikt построенный при помощи двумерной сплайн-интерполяции статических характеристик, представлен на рисунке 3:
Получение итоговой модели и результаты расчетов
Так как динамические процессы в коммутирующем устройстве и асинхронном двигателе влияют друг на друга, то уравнения (6), (7), (9) и (14) следует рассматривать как общую систему уравнений.
Дополнительно произведём замену уравнения баланса напряжений на обмотке контактора в системе уравнений (14), уравнением (13).
Дополним модель асинхронного двигателя уравнением движения Dω. Получим общую систему уравнений (15) модели рассматриваемой на рисунке 1:
Коэффициенты 106 и 20 в системах уравнений для активной и индуктивной составляющих межконтактного промежутка определяют величину сопротивления последнего.
В полученной системе уравнений первые 5 уравнений описывают динамику в асинхронной машине, последующие 3 уравнения позволяют получить динамические характеристики электромагнита, последние 2 функции Rky и Lky в системе уравнений являются связующим звеном между динамикой в асинхронной машине и процессами в электромагните контактора.
Полученная модель позволяет рассчитать динамические характеристики модели с учётом изменения положения якоря xkt, в зависимости от минимально допустимого напряжения питания обмотки контактора Umin.
Ниже представлены полученные динамические характеристики.
На рисунках с 4 по 8 представлены характеристики контактора:
Характеристики асинхронного электродвигателя представлены на рисунках с 9 по 11:
По полученной математической модели (15) была реализована программная модель в среде Delphi 6, при режиме повторного включения асинхронного двигателя, со следующими условиями:
- В качестве асинхронного двигателя был взят двигатель типа ДКВ355LВ4, мощностью 315кВт, напряжение питания Un=1140 В.
- В качестве коммутирующего устройства — пускатель серии ПВИ-250 с контактором КТУ-4Б.
- В момент времени t=0,4 c увеличим сопротивление обмотки контактора до таких значений, при которых якорь опадёт от магнитной системы.
- В момент времени t=0,62 c установим номинальное сопротивление обмотки контактора.
Таким образом, полученная математическая модель (система уравнений (15)) позволяет оценить динамические характеристики комплекса, состоящего из асинхронного двигателя с кабелем в статорной цепи и устройством коммутации, которое имеет произвольное расположение на кабельном участке.
Особое внимание было уделено работе коммутирующего устройства (пускателю), динамические характеристики которого зависят от динамики асинхронного двигателя, а также от расположения на кабельном участке.
Список литературы
- Моделирование электромеханических процессов многодвигательных электроприводов горных машин / Ещин Е.К. // Кемерово, Кузбасский государственный технический университет, 1999 год, страница 115.
- И.С. Таев, Б.К. Буль, А.Г. Годжелло и другие, Основы теории электрических аппаратов: Учебник для ВУЗов, Москва, Высшая школа, 1987 год, страница 352.
- Переходные процессы в электрических машинах и аппаратах и вопросы их проектирования, Учебное пособие для ВУЗов/ Гольдберг О.Д., Буль О.Б., Свириденко И.С., Хелемская С.П. // Под редакцией О.Д. Гольдберга, Москва, Высшая школа, 2001 год, иллюстрация на странице 512.
- Программирование и применение ЭВМ в расчётах электрических аппаратов: Учебное пособие для ВУЗов по специальности «Электроаппараты» / Никитенко А.Г., Гринченко В.П., Иванченко А.Н., Москва, Высшая школа, 1990 год, иллюстрация на странице 231.
Трёхфазная модель асинхронного двигателя с кабелем и пускателем в статорной цепи.
Источник: Модель асинхронного электродвигателя с кабелем и устройством коммутации в статорной цепи / А.В. Губенков // Вестник КузГТУ, 2003 год, №4, страницы 65-70.
