You are currently viewing Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов

Содержание

Расплавленные металлы и их сплавы находят широкое применение в народном хозяйстве.

Этот интерес особенно велик в следующих отраслях:

  • Теплотехнике.
  • Ядерной.
  • Электронной технике.
  • Других отраслях промышленности.
  • Металлургическом производстве и в разработке новых технологий в этой области.

Наибольшее внимание расплавленным металлам уделено в металлургии, что обусловлено необходимостью прохода жидкой фазы перед кристаллизацией. Развитие металлургии дает импульс к развитию исследований теплофизических характеристик расплавов.

Математические методы моделирования

Недостаточное применение и внедрение математических методов моделирования состояния расплава, которые могут прогнозировать процесс, существенно тормозят прогресс технологий в металлургии. Эти исследования важны не только для теории металлургических процессов, но и для технологических целей.

Известно, что использование приближения несжимаемости среды (плотность частицы малого объема не изменяется со временем).

При выводе дифференциального уравнения закона сохранения массы приводит к чрезвычайно простой его формулировке — поле вектора скорости должно быть соленоидальным.

При описании динамических свойств сплошных сред получены следующие системы уравнений:

  • Для вязкого расплава — уравнения Навье-Стокса.
  • Для идеального расплава — уравнения Эйлера.
  • Для слабосжимаемого расплава — уравнения Обербека-Буссинеска.

В фундаментальных исследованиях и в области прикладных разработок эти математические модели являются общепринятыми для моделирования течения расплава.

В класс несжимаемых сред данные математические модели объединяет условие соленоидальности поля скоростей, что относит их к уравнениям не типа Коши — Ковалевской. Именно это обстоятельство создает ряд математических трудностей при построении решений.

Еще один отличительный признак моделей несжимаемых сред — они являются нелинейными. Основные усилия исследователей направлены на преодоление проблем, обусловленных нелинейностью моделей. Именно наличие нелинейного конвективного члена считается главным препятствием для получения решений.

В результате многочисленных исследований установлено, что попытки построения неявных схем приводят к многошаговым итерационным процессам с различными вариантами удовлетворения условия соленоидальности.

Чтобы получить хорошую сходимость при получении численных решений необходимо на границе разностных сеток обеспечивать свойства сохранения потоков и высокую степень аппроксимации уравнений несжимаемого расплава.

Вывод формул для компьютерного моделирования течения расплавов

Для компьютерного моделирования течения расплавов необходимо численное решение уравнений гидродинамики методом конечных разностей.

Рассмотрим плоское течение:

  • Пусть Ω — область евклидова пространства Rn.
  • Причем x=(x1,x2).

Разобьем все пространство Rn(x,t) — на элементарные ячейки, площадь которых:

  • хi=ki
  • h>0 – шаг.
  • ki=0,±1,±2,…
  • t=kΔ

Составим разностные отношения по xi:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 1

Сдвиг по xi определим как:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 2

Векторы еj представляют собой единичные векторы по осям хi. Согласно работе [1] векторы скорости выражаются соотношениями:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 3

Тогда для произвольных функций uh, νh, заданных на сетке, получим следующие выражения:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 4

Здесь принимаем, что:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 5

Для демонстрации данного метода после соответствующих преобразований перепишем уравнение гидродинамики в виде:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 6
(1)

где

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 7

Для простоты рассмотрим случай, когда n=2. Для этого разобьем временной интервал [0, T] точками:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 8

Это позволит рассмотреть слои tm и tm-1. Обозначим индексы так, чтобы ν, а также р указали на номер слоя, на котором они вычисляются. Существуют различные аппроксимации разностного оператора Zk.

Возьмем этот оператор в виде предложенного в работах [2], [3]:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 9

Тогда уравнение (1) можно представить следующей разностной схемой:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 10
(2)
Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 11
(3)
Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 12
(4)
Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 13
(5)

где

  • m=1, 2, . . , N.

Для полного завершения построения разностной схемы к этим уравнениям следует добавить начальные и граничные условия:

Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 14
Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов 15

Формирование программного обеспечения для моделирования течения расплавов

Поскольку мы получили уравнения (2) — (5), которые решаются по отдельности следовательно это позволяет:

  • Написать машинные программы для реализации численных конечно-разностных методов.
  • Для проверки корректности работы программы решена плоская задача Дирихле для уравнения Пуассона, приведенного в работе [4].
  • Интегрирование производится в прямоугольной сетке в соответствии с рисунком 1.
Рисунок 1 – Область интегрирования
Рисунок 1 – Область интегрирования

Согласно [4], решение уравнения Пуассона приведено в таблице 1:

Таблица 1 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников
Таблица 1 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников

Для контрольного примера в таблице 2 приведем решение задачи Дирихле уже с другими граничными условиями из тех же справочных источников:

Таблица 2 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников
Таблица 2 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона из справочных источников

Сравнивая решения первой и второй краевых задач Дирихле из справочных источников, представленными в таблицах 1 и 2, с результатами программы для решения краевых задач, представленными в таблицах 3 и 4, видим удовлетворительное совпадение решений при заданной точности ԑ=0.1.

Таблица 3 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=0.1
Таблица 3 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=0.1
Таблица 4 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=0.1
Таблица 4 – Решение второй краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=0.1

Реализация этой процедуры занимает 15 минут машинного времени.

А при увеличении точности до ԑ=10-4 наши результаты, представленные в таблице 5, фактически совпадают с результатами стандартных справочных данных.

Таблица 5 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=10-4
Таблица 5 – Решение первой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона с заданной точностью ԑ=10-4

Необходимо отметить, что увеличение точности приводит к возрастанию затрат машинного времени, которое составляет 45 минут.

Для наглядности представим изолинии и поверхности полученных решений в соответствии с рисунка 2 и с рисунка З.

Рисунок 2 – Изолинии и поверхность для первой краевой задачи Дирихле
Рисунок 2 – Изолинии и поверхность для первой краевой задачи Дирихле
Рисунок 3 – Изолинии и поверхность для второй краевой задачи Дирихле
Рисунок 3 – Изолинии и поверхность для второй краевой задачи Дирихле

Полученные результаты показывают корректность составленной программы, а также корректность поставленных краевых задач для уравнений гидродинамики, рассмотренных нами выше.

Список литературы

  1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970.-288 с.
  2. Shimizu A., Wada Т. A numerical analysis of vortex growth in a two-dimensional jet // Comput. and Fluids. — 1985. — 13, № 1. — P. 83-97.
  3. Samarskii A.A., Gerasimov В.P., Elizarova T.G., Kalachinskaya I.S., Karagichev A.V, Lesunovsky A.V., Semushin S.A., Chetverushkin B.I., Churbanov A.G. Computer simulation in engineering hydrodynamics // Int. Symp. Comput. Fluid Dyn. — Tokyo, 1985. — P. 1007-1010.
  4. Rosenfeld Moshe, Israeli Moshe. Numerical solution of incompressible flows by a marching multigrid nonlinear method // AIAA 7th Comput. Fluid Dyn. Conf.: Collect. Techn. Pap. — New-York, 1985. — P. 108-116.

Источник: Компьютерное моделирование гидродинамики расплавов / С.Ш. Кажикенова, Б.Ш. Алимова // Вестник КузГТУ. — 2011. — №1. — C. 107-111.

Добавить комментарий

Gekoms LLC

Коллектив экспертов большая часть опыта и знаний которых востребованы в области промышленной автоматизации, разработке технически сложного оборудования, программировании АСУТП, управлении электроприводом. Телефон: +7(812) 317-00-87 Email: info@gekoms.com Сайт: https://gekoms.org