Содержание
Решение вопросов автоматизации управления в различных сферах человеческой деятельности требует применения современных алгоритмов и технических средств их реализации.
Согласно работе [1] на практике возникают следующие трудности:
- Затруднительно обеспечить точное знание всех необходимых величин.
- Сложно обеспечить достаточно точное математическое описание объекта управления.
- Характеристики объекта в процессе функционирования могут значительно изменяться.
Поэтому при разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами в химической промышленности, в углеобогащении, в металлургии создание адекватной математической модели представляет обычно сложную самостоятельную задачу.
В данных случаях традиционные методы часто оказываются либо неприменимыми, либо дают плохие результаты.
В связи с этим перспективным представляется путь построения управляющих систем, не требующих полного априорного знания объекта управления и условий его функционирования.
Управляющая система должна автоматически отыскивать нужный закон управления посредством анализа поведения объекта при текущем управлении.
Такие управляющие системы принято называть адаптивными согласно работе [2].
Постановка задачи
Синтез адаптивного управления начинается с постановки цели управления.
Идеальной целью управления было бы построение оптимального управления, доставляющим экстремум функционалу качества.
Однако заранее ясно, что вряд ли такая цель достижима за конечное время, поскольку оптимальный регулятор зависит от неизвестных параметров.
Поэтому на практике часто ставится более скромная, но близкая цель управления — построение субоптимального управления, согласно работе [2].
Данное заключение означает, следующее:
- Задается некоторый близкий к единице «уровень оптимальности» ρ (0<ρ <=1).
- Для построения (субоптимального с уровнем р управления значение функционала качества будет «немного», именно не более, чем в ρ-1 раз, хуже оптимального (оптимальному управлению соответствует ρ=1).
В теории автоматических систем широко представлен класс решений оптимальных систем для объектов, которые описываются дифференциальными уравнениями в непрерывном виде.
В тоже время имеется много процессов, которые имеют дискретный характер описания и, даже если объект описывается непрерывным уравнением, а управление предполагается осуществить с помощью цифровой ЭВМ, возникает необходимость использования теории дискретных систем управления.
За последние тридцать лет увеличилось общее число цифровых систем управления, используемых в промышленности, поэтому благодаря наличию быстродействующих, недорогих и миниатюрных микропроцессоров появилась возможность автоматизировать многие производственные процессы, используя компьютер непосредственно в контуре системы управления.
Цифровое управление имеет ряд преимуществ согласно работе [3], куда относятся:
- Повышенная точность измерений.
- Меньшая чувствительность к шумам и помехам.
- Возможность легко изменять алгоритм управления.
- Использование цифровых сигналов датчиков и преобразователей.
В работе [4] авторы предложили метод синтеза оптимальных систем при известных параметрах объекта.
Введением в функционал качества первой разности функции Ляпунова при решении оптимизационной задачи они доказали теорему об устойчивости системы управления при выполнении условия отрицательности функционала, при следующих условиях:
- U(xn, n) = Uоnm(xn, n) Δxn.
В работе [5] функция Ляпунова априорно не выбирается, а является параметром проектирования цифрового регулятора.
Решение получено в общем виде для детерминированного случая.
Основываясь на этих результатах, предлагается распространение на случай объектов с параметрической неопределенностью, когда параметры объекта неизвестны.
Объект описывается линейным векторно-разностным уравнением:
Которое можно представить в виде:
где
- XSεRn — вектор состояния.
- А — матрица (nхn) неизвестных параметров.
- αs — матрица настраиваемых параметров uSε Rl — управление.
Требуется найти управление uS, удовлетворяющее условию:
где
- Δ V — первая разность функции Ляпунова, вычисляемая вдоль траектории системы, которая состоит из известной части и пока неизвестной.
Следовательно получим:
где
- αi s — i-я строка матрицы настраиваемых параметров на шаге s.
- r — коэффициент, отражающий затраты на управление.
- Мs, Gs, Hs — положительно определенные матрицы.
Синтез алгоритма управления
По аналогии с работой [6], для уравнения (1) и функционала (3) имеем следующее функциональное неравенство:
На основании математической модели представим основные зависимости на графиках:
Проведя ряд преобразований, направленных на избавление от неизвестных параметров объекта, и выбрав алгоритм настройки параметров в виде:
Выбираем матрицу :
Получаем промежуточное неравенство:
где
- āS = αS – I, в котором присутствуют члены с неизвестными параметрами объекта.
Чтобы избавиться от этого необходимо выполнить условие:
где
Откуда для матрицы MS+l получаем следующий алгоритм выбора:
Дифференцируя уравнение (8) получаем функциональное уравнение:
где
Разрешая уравнение (11) относительно и получаем алгоритм регулятора в виде:
Подставляя уравнение (12) в (8), получаем функциональное неравенство в замкнутой форме:
Одним из решений этого неравенства является апроксимация в виде квадратичной формы:
- V(x)= xTs Ps xs.
где
- PS — параметры квадратичной формы находятся с помощью матричного неравенства типа Риккати.
По разработанному алгоритму регулятора было проведено компьютерное моделирование.
В качестве объекта рассматривается трехмерный объект с одним неустойчивым корнем:
Начальные значения матрицы настраиваемых параметров имеют вид:
Матрица Н и Q соответственно:
Управление применяется скалярное (выбором вектора b):
- b=[0 0 1].
Результаты моделирования приведены в таблице 1:
На основании проведенных изысканий можно сделать следующие выводы:
- Предложена структура адаптивного регулятора, обеспечивающего устойчивость дискретной системы.
- Результаты моделирования показали работоспособность разработанного регулятора.
Список литературы
- Р. Дорф, Р. Бишоп, Современные системы управления -Москва: «Юнимедиастайл», 2002 год.
- Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.Я., Адаптивное управление динамическими объектами — Москва: «Наука», 1981 год.
- Г. Оллсон, Дж. Пиани, Цифровые системы автоматизации и управления — Санкт-Петербург: «Невский диалект», 2001 год.
- Кунцевич В.М., Лычак М.М., Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова -Москва: «Наука», 1977 год.
- Крутько П.Д., Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами -Москва: «Советское радио», 1967 год.
- Ковырев Н.Г., Плитке Н.А., Синтез дискретных адаптивных систем оптимальных относительно локального критерия, Адаптивные и самоорганизующиеся системы управления, Бишкек: Илим, 1992 год.
Источник: Адаптивное субоптимальное управление дискретным объектом / Н.Г. Ковырев, В.И. Удовицкий // Вестник КузГТУ, 2004 год, №6.2, страницы 66-69.
