Для динамической идентификации параметров и переменных состояния асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ротором (АД), особенно в производственных условиях, когда после замены одного электродвигателя на другой требуется автоматическое обеспечение устойчивости вычислительных процессов оценивания, могут быть использованы поисковые алгоритмы оценивания.
Как и при идентификации на основе фильтра Калмана, поисковые алгоритмы должны реализовывать минимум расхождения (невязки) выходных сигналов модели и объекта. В качестве модели объекта (рис. 1) в этом случае целесообразно использовать модель стохастической управляемой системы в форме Ленжевена [1], где:
- х — вектор состояния системы
- u — вектор управляющих воздействий
- ƒ — векторная функция переменных состояния и управления
- w(t) — вектор возмущающих воздействий.
Для решения задачи оценивания параметров и состояния эта модель должна быть дополнена моделью цепи измерения, аналогично используемой в фильтре Калмана:
где
- z — вектор измерения
- h — векторная функция
- v(t) — вектор погрешности измерения.
На рис. 2 представлена структура поискового алгоритма, используемого нами для оценивания параметров и состояния АД. Алгоритм содержит модель оцениваемого процесса, которая косвенно охвачена многомерной обратной связью по вектору невязки Δz через блок оптимизации (БО), который решает задачу минимизации критерия Q(Δz), представляющего собой некоторую положительную функцию. Минимизация в каждом конкретном случае может выполняться различными методами.
Наличие в структуре обратной связи не означает, что этот контур замкнут постоянно и осуществляет коррекцию оцененного состояния объектаx ẋ на каждом шаге. Напротив, вычисление критерия Q(Δz) должно производиться в течение некоторого конечного интервала времени — окна, размер которого в каждом конкретном случае определяется динамикой объекта, а также имеющимися в системе шумами.
В качестве критерия Q(Δz) нами была использована квадратичная функция, что вызвано несколькими причинами. Во-первых, она гарантирует наилучшую точность оценивания в минимаксном смысле (минимальные ошибки в наиболее неблагоприятной ситуации) для распределений шумов с ограниченными средними квадратами отклонений. Во-вторых, поскольку блок оптимизации в таком случае будет минимизировать среднеквадратичное отклонение, то по своим свойствам данный алгоритм будет близок к методу наименьших квадратов, но применительно к системам, описываемым дифференциальными уравнениями.
Известно, что метод наименьших квадратов не требует априорной информации о характере шумов в системе, если они имеют нулевое математическое ожидание. Следовательно, поисковый алгоритм также будет иметь пониженную чувствительность к виду закона распределения плотностей вероятностей шумов, в том числе и коррелированных, при условии, что интервал корреляции будет существенно меньше времени вычисления критерия Q(Δz), которое определяется постоянными времени объекта идентификации.
Кроме того, достоинством поисковых алгоритмов является возможность нахождения глобального экстремума в пространстве параметров объекта идентификации при наличии локальных экстремумов. Как и при использовании расширенного фильтра Калмана, для одновременного оценивания состояния и параметров объекта к вектору состояния необходимо добавить элементы вектора параметров, оценки которых требуется определить.
Несмотря на отмеченные достоинства поисковых алгоритмов оценивания, из-за сложности вычислительных процедур они пока не нашли широкого применения для идентификации параметров и переменных состояния электродвигателей в реальном времени.
В основе предложенного алгоритма оценивания лежит упрощенная математическая модель электродвигателя, преобразованная к более удобному эквивалентному виду. Из уравнений АД [2] для определения потокосцеплений статора Ψ1 и ротора Ψ2 получены зависимости для токов:
где
- K1, К2, L1‘, L2‘ — соответственно коэффициенты электромагнитной связи и переходные индуктивности статора и ротора.
Для упрощения модели также принято, что K1 = К2, L1‘= L2‘. Это обусловлено тем, что величина Lm значительно больше значений и L1σ и L2σ. Данное упрощение справедливо для реальных АД, особенно для режимов их работы с большими нагрузками. Допустимость этого упрощения обоснована результатами вычислительных экспериментов, проведенных нами для ряда АД при моделировании процессов пуска и работы со статической и резкопеременной нагрузками. При этом максимальная погрешность вычислений значений I2, Ψ2 по упрощенной модели АД относительно его полной модели не превысила 5%.
При работе АД в динамических режимах для идентификации параметров и состояния были использованы математическая модель состояния:
где
- Ψ1 = K2 Ψ2 +I1 L’1 — модель цепи измерения
- R2 — активное сопротивление ротора
Для использования поискового метода оценивания модель АД в осях α, β была приведена к виду:
где
- ẋ — вектор оценок состояния и параметров
- u — вектор входных воздействий
- R2 — активное сопротивление ротора
- ωг — частота вращения ротора.
При этом векторная функция, связывающая производную вектора состояния по времени с вектором входных воздействий и вектором состояния, имеет вид:
где
- p — число пар полюсов
Для выявления ошибки оценивания использована векторная функция, связывающая определяемую величину с управляющим воздействием и состоянием:
А также соответствующая ей функция h(ẋ͡, u) = Ψ̂2, определяющая ту же величину, но полученную из вектора оценок состояния и параметров.
При этом целевая функция Q(Δz) имеет вид:
Для уменьшения размерности пространства поиска число параметров в модели уменьшено вводом величины:
Алгоритм оценивания параметров и переменных состояния электродвигателя содержит подпрограмму расчета величин Ψ̂2 и L̂’2. Входными данными для нее являются массивы текущих значений тока статора I1 [0 . . . N] , потокосцепления статора Ψ1[0 . . . N], величины ω̂r , Ŷ, K̂1 , а также начальные значения параметров и состояния ω̂[О], Ŷ [0] , К̂1[0] , Ψ̂2[0].
Выходные данные — рассчитанный массив значений потокосцепления ротора Ψ2 [0 . . . N], величина переходной индуктивности ротора L̂’2 и значение критерия Q, которое определяет степень достоверности заданных значений параметров и переменных состояния АД. Все массивы имеют одинаковое число элементов N, соответствующее выборке по времени в диапазоне 1-10 мс.
Практическое исследование характера функции Q(Δz) для различных электродвигателей показало, что она является многоэкстремальной и имеет, как правило, несколько локальных минимумов (рис. 3).
Для поиска глобального экстремума такой функции наилучшим оказался следующий подход: на первом этапе используется многомерный перебор в пространстве варьируемых параметров для локализации минимума, а затем — метод покоординатного спуска для уточнения найденного экстремума.
Из-за меньшей информативности токов и напряжений статора при идентификации АД в статических режимах размерность пространства поиска была уменьшена. Для этого величины K1, К2, L1‘, L2‘ были приняты постоянными.
В этом случае изменяется алгоритм оценивания с изменением вектора оценок параметров и состояния АД:
Векторная функция, связывающая производную вектора состояния по времени с вектором управления и состояния, в этом случае имеет вид:
Исследование характера функции Q(Δz) для различных типов электродвигателей показало, что она имеет один экстремум в области возможных значений варьируемых параметров. Поиск минимума для этого алгоритма производится методом покоординатного спуска с достижением экстремума за 2-3 цикла поиска.
Для определения индуктивности цепи намагничивания определены векторы и векторная функция в виде:
Математическая модель цепи измерения и целевая функция имеют вид:
Для примера на рис. 4 и 5 представлены процессы оценивания значений активного сопротивления ротора R2 и частоты вращения ωг в процессе пуска электродвигателя 4AMX90L2Y3. Несмотря на то, что используемый в этом случае алгоритм предназначен для статического режима, получены результаты, близкие к измеренным данным и результатам, определенным с помощью других методов.
Предложенный подход к динамической идентификации АД может быть использован для построения системы мониторинга с использованием получаемой при этом информации для управления и функционального диагностирования асинхронных электроприводов.
Список литературы
- Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. — М.: Наука, 1987. -712 с
- Ключев В.И. Теория электропривода: Учеб, для вузов-2-е изд. перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 2001. — 704 с
Источник: Определение параметров и переменных состояния асинхронных электродвигателей в процессе их работы на основе поискового алгоритма оценивания / В.Г. Каширских, А.В. Нестеровский // Вестник КузГТУ. — 2006. — №5. — C. 76-79
