Существенная доля отказов горных машин связана с выходом из строя элементов трансмиссии. Одной из основных причин поломки элементов трансмиссии является наличие усталостных явлений, вызванных упругими колебаниями, которые возникают в переходных процессах пуска и останова электропривода, а также под действием нагрузки, которая носит резкопеременный характер. Очевидно, что подавление упругих колебаний в трансмиссиях горных машин является эффективным средством повышения их надежности.
Рассмотрим способ такого подавления для машин, расчетная схема которых представима в виде двухмассовой механической системы с пренебрежением потерь и внутреннего вязкого трения (рис.1).
Запишем математическую модель системы в форме Коши:
где
- ω1, ω2, J1, J2 частоты вращения и моменты инерции первой и второй масс;
- М — момент сил, прикладываемых к системе (управляющее воздействие);
- М12 — момент упругих сил;
- Мс — момент сопротивления (возмущающее воздействие);
- С12 -коэффициент жесткости упругой связи.
Из третьего уравнения системы (1) видно, что упругие колебания будут отсутствовать в том случае, когда частоты вращения первой и второй масс будут совпадать. Исходя из этого, в соответствии с синергетической теорией управления [1], выберем желаемое инвариантное многообразие следующего вида:
При движении системы вдоль заданного инвариантного многообразия Ψ гарантируется отсутствие упругих колебаний. Для того чтобы получить управляющее воздействие, гарантирующее выход системы из любой точки фазового пространства на инвариантное многообразие, и дальнейшее движение вдоль него, необходимо решить следующее функциональное уравнение относительно макропеременной Ψ:
Подставив (2) в (3), имеем:
В полученном уравнении избавимся от производных ώ1 и ώ2, заменив их на правые части первого и второго уравнений системы (1):
Результаты компьютерного моделирования полученного закона управления для двухмассовой механической системы с параметрами:
- J1=1 кг*м2,
- J2=1 кг*м2,
- С12=1000 Н*м/рад,
- Т=0.01
Как видно из графиков рис. 2, частоты вращения первой и второй масс сходятся в одну линию в течение 0,15 с, что свидетельствует о стабилизации момента упругих сил М12. Однако полученный закон управления (5) имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что в нем отсутствует какое либо, задающее воздействие, поэтому при помощи него нельзя регулировать ни величину скорости, ни величину момента.
Для исключения данного недостатка осуществим синтез закона управления двухмассовой системой с использованием следующего желаемого инвариантного многообразия:
где М*12 — желаемое значение момента упругих сил.
Очевидно, что, задав М*12=const, при выходе системы на инвариантное многообразие / упругие колебания будут подавляться. В то же время, изменяя М*12 можно воздействовать на ускорение механической системы, а значит и на ее скорость.
Решив функциональное уравнение T1Ψ1+Ψ1=0 для инвариантного многообразия (6), подставив правую часть третьего уравнения системы (1) и приняв М*12 =const, получим:
Здесь отсутствует подводимый к двухмассовой механической системе момент сил, являющийся управляющим воздействием, поэтому, в соответствии с концепцией динамического сжатия фазового пространства, известной в теории синергетического управления [1], введем в систему внутреннее управление, в качестве которого выберем частоту вращения первой массы. Выберем следующее желаемое инвариантное многообразие для внутреннего управления:
Ψ=ω1-ʋ=0
где ʋ — желаемая траектория движения переменной ω1, полученная из (7):
Таким образом, получаем следующее инвариантное многообразие, движение по которому гарантирует стабилизацию момента упругих сил M12 на заданном уровне:
Решение функционального уравнения T2Ψ2+Ψ2=0 совместно с (1) и (8) дает закон управления:
При котором система из любой точки фазового пространства попадет на инвариантное многообразие (6), после чего будет двигаться вдоль него. С учетом полученного закона управления динамическое поведение замкнутой двухмассовой механической системы будет описываться следующей системой уравнений:
Результаты компьютерного моделирования работы двухмассовой механической системы с законом управления (10) представлены на рис. 3.
При моделировании использовались следующие параметры системы:
- J1=1 кг*м2,
- J2=1 кг*м2,
- С12=1000 Н*м/рад,
- Т1=0.02, T2=0 .02,
- М*12=15 Н*м.
Резкопеременная составляющая нагрузки моделировалась с иcпользованием фрактального броуновского движения [2, 3]. Из результатов компьютерного моделирования видно, что момент упругих сил достигает заданного значения без перерегулирования за 0,12 с, после чего стабилизируется, несмотря на резкопеременный характер нагрузки. В то же время, воздействуя на заданный упругий момент, можно воздействовать на среднюю скорость движения рабочего органа, например, для поддержания оптимальной производительности горной машины. Таким образом, полученный закон управления упругим моментом может быть рекомендован для использования в системах управления электроприводами горных машин для увеличения их срока службы.
Список литературы
- Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТГУ, 2000. Ч. II — 559 с.
- Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М: Постмаркет, 2000. — 352 с.
- Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 5. Методы современной теории автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова. М: Издат. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.-287 с.
Источник: Подавление упругих колебаний в горных машинах с двухмассовой расчетной схемой / В.М. Завьялов // Вестник КузГТУ. — 2005. — №6. — C. 67-69
